日前在书上看到一段使用多项式逼近计算平方根的代码,至今都没搞明白作者是怎样推算出那个公式的。但在尝试解决问题的过程中,学到了不少东西,于是便有了这篇心得,写出来和大家共享。其中有错漏的地方,还请大家多多指教。 的确,正如许多人所说的那样,现在有有FPU,有3DNow,有SIMD,讨论软件算法好像不合时宜。关于sqrt的话题其实早在2003年便已在 GameDev.net上得到了广泛的讨论(可见我实在非常火星了,当然不排除还有其他尚在冥王星的人,嘿嘿)。而尝试探究该话题则完全是出于本人的兴趣和好奇心(换句话说就是无知)。 我只是个beginner,所以这种大是大非的问题我也说不清楚(在GameDev.net上也有很多类似的争论)。但无论如何,Carmack在DOOM3中还是使用了软件算法,而多知道一点数学知识对3D编程来说也只有好处没坏处。3D图形编程其实就是数学,数学,还是数学。 文章原本是用HTML编排的,所以只截取了部分有比较有趣的东西放在这里。原文在我的个人主页上,同时也提供了2篇论文的下载:http://greatsorcerer.go2.icpcn.com/info/fastsqrt.html ========================================================= 在3D图形编程中,经常要求平方根或平方根的倒数,例如:求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度,但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望能够在保证足够的精度的同时,进一步提高速度。 Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法,它第一次在公众场合出现的时候,几乎震住了所有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的,它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli(未经证实)。 现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数,实际就是求方程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为: 接着,我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方法算出了一个与真根非常接近的近似根,因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解。它是怎样做到的呢?所有的奥妙就在于这一行: 超级莫名其妙的语句,不是吗?但仔细想一下的话,还是可以理解的。我们知道,IEEE标准下,float类型的数据在32位系统上是这样表示的(大体来说就是这样,但省略了很多细节,有兴趣可以GOOGLE): 至于那个0x5f3759df,呃,我只能说,的确是一个超级的Magic Number。 那个Magic Number是可以推导出来的,但我并不打算在这里讨论,因为实在太繁琐了。简单来说,其原理如下:因为IEEE的浮点数中,尾数M省略了最前面的1,所以实际的尾数是1+M。如果你在大学上数学课没有打瞌睡的话,那么当你看到(1+M)^(-1/2)这样的形式时,应该会马上联想的到它的泰勒级数展开,而该展开式的第一项就是常数。下面给出简单的推导过程: R^(-1/2) 将(1+M)^(-1/2)按泰勒级数展开,取第一项,得: 原式 如果不考虑指数的符号的话, 原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1),其中C为常数 所以只需要解方程: 所以,所谓的Magic Number,并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上的,而是几百年前就有的数学理论。只要熟悉NR和泰勒级数,你我同样有能力作出类似的优化。 在GameDev.net上有人做过测试,该函数的相对误差约为0.177585%,速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程,相对误差可以降低到e-004 的级数,但速度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中,Carmack通过查找表进一步优化了该算法,精度近乎完美,而且速度也比原版提高了一截(正在努力弄源码,谁有发我一份)。 值得注意的是,在Chris Lomont的演算中,理论上最优秀的常数(精度最高)是0x5f37642f,并且在实际测试中,如果只使用一次迭代的话,其效果也是最好的。但奇怪的是,经过两次NR后,在该常数下解的精度将降低得非常厉害(天知道是怎么回事!)。经过实际的测试,Chris Lomont认为,最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成64位的double版本的话,算法还是一样的,而最优常数则为0x5fe6ec85e7de30da(又一个令人冒汗的Magic Number - -b)。 这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序,所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就会挂掉。如果想具备可移植性,还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以尝试推算一下相应的平方根算法。 下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐给开源了,所以大家可以放心使用,不用担心会受到律师信。 |
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2006-09-15